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Résumé de la conférence
donnée par
Roland Charnay
au CRDP de Lille, le 16 octobre 2003

Roland Charnay est directeur de l'IUFM de Bourg en Bresse et animateur du groupe ERMEL à l'INRP

Quatre axes importants se dégagent des nouveaux programmes :

• penser les articulations entre cycles et avec le collège,
• ne pas séparer les techniques, le sens et l'entrée dans une culture mathématique,
• penser les relations entre les disciplines,
• renforcer la place de l'oral. Parallèlement, l'analyse des évaluations nationales fait émerger deux priorités : la résolution de problèmes et le calcul mental.

"L'enseignement actuel est trop centré sur les techniques, pas assez sur le sens. Les activités papier-crayon sont dominantes et l'invasion des fichiers est préoccupante. Il faut que l'enseignement privilégie les situations où l'élève apprend à chercher."

Articulations

Cycle 1 / cycle 2

Compétences spatiales

Leur apprentissage n'est pas terminé à la maternelle (changement de point de vue) ; nécessité de travailler dans l'espace ordinaire (ça ne s'apprend pas sur le papier : la feuille de papier est un espace propre à explorer, qui ne se substitue pas à l'espace vécu).

Etude des nombres

Les compétences techniques sont orales et manuelles (travail sur les objets, sur les quantités, la suite numérique orale). Donner du sens aux nombres (les aspects techniques sont insuffisants).

Calcul

Créer la mémoire des quantités (au travers de problèmes que l'élève doit résoudre), une image des quantités (on se sert des doigts pour pouvoir s'en passer). Résoudre des problèmes sans calcul explicite (sans traduction symbolique, sans formalisation écrite).<:p>

Remarque : l'enseignement français a tendance à débuter l'étude d'un concept par le lexique, le symbole ; or le mot conforte, prolonge, approfondit le concept ; l'approche précoce met en échec car elle fausse les représentations de la tâche.

Au CP

Amener les maîtres à prendre en compte le passé de l'élève et les apprentissages de la maternelle (ne pas nier les compétences acquises ni les lacunes). Structurer les désignations orales / écrites Poursuivre le travail sur le sens.

Ecole / collège

La liaison école/collège ne peut être pensée en terme de répartition des notions mais essentiellement en terme de niveau de conceptualisation. L'enseignement actuel est trop centré sur les techniques (domination du papier-crayon, envahissement du travail exclusif sur fichiers, peu de place pour les écrits de type recherche - le brouillon a statut de "répétition générale"). Les maths sont d'abord des OUTILS pour résoudre des problèmes (à l'école ; ils deviennent ensuite des OBJETS de travail qui recréent d'autres objets (dès le collège).

Exemples de continuité

Cycle 1 et 2

Géométrie de perception, on reconnaît : est vrai ce que je vois.

Cycle 3

Géométrie instrumentée : est vraie la propriété que j'ai vérifiée avec les instruments (propriété n'est pas définition : dire qu'un rectangle est un quadrilatère avec 3 angles droits contredit la réalité des 4 angles droits, les longueurs, le parallélisme... la redondance fait partie de ce mode).

Collège

Géométrie déductive : est vrai ce que je démontre par un discours logique (théorème). Dans chaque section, ce sont les changements qui sont à travailler. La géométrie travaille sur des problèmes dans l'espace ordinaire, sur la feuille, sur l'ordinateur ; le travail à main levée est une activité très importante (la géométrie approchée est identique au calcul approché).

Résolution de problèmes

A quoi sert d'avoir des connaissances mathématiques si elles ne sont pas utilisées, mobilisées et mobilisables par les élèves pour répondre ou traiter des problèmes ?

Le mot chercher a deux acceptions :

• un problème en rappelle un autre : transposition ; on peut trouver (c'est le problème d'application) ;
• un problème n'en rappelle aucun autre : invention d'une démarche personnelle, d'une solution.

N.B. : C'est le propre du sens de la maternelle : il faut fabriquer SA solution.

Il s'agit de résoudre ce type de problèmes en utilisant un cheminement expérimental sous des formes diverses : écrit, différentes représentations - oral, dessin, schéma, symbolisation mathématique, ... - dispositif matériel, pour permettre d'élaborer des représentations mentales plus ou moins dépendantes du contexte. Il faut jouer sur différents niveaux de représentation.

Conception du problème

C'est une source, un moyen et un enjeu des apprentissages. On enseigne d'abord les problèmes qui donnent sens aux notions, c'est en les résolvant qu'on commence à élaborer ces notions :

1. Mettre les choses en forme
2. S'exercer, s'entraîner : "routiniser" est nécessaire !

Quelle représentation le jeune élève a-t-il construit du problème, quel enseignement y a conduit ? La réussite ou l'échec d'un élève dépend de l'influence de 2 pôles :

• connaissances : lecture, mathématiques, sur le monde ;
• "croyances" : ce qui est attendu, ce qui est permis, ce qui marche souvent, sur celui qui pose la question.

Les uns répondent au problème, les autres au maître.

Ce qu'on attend de l'élève

• l'inspiration : elle se développera si l'élève peut dépasser la recherche d'un nombre pour répondre à la question, et s'il accepte de "bricoler", de "tricoter" les connaissances acquises avec les données pour construire une démarche, quel que soit son niveau d'abstraction...
• le raisonnement : étayé par les mises en commun, facilité par la diversité offerte des modes d'approche (il ne s'agit pas de renoncer à des solutions expertes, mais de permettre, de susciter la diversité des démarches valides qui concourent à donner du sens à l'expertise pour ceux qui ne l'ont pas intégrée comme outil).
• l'argumentation : dans tous les cycles, l'oral est à la base de ces constructions mentales. La mise en commun doit se substituer à la correction. Au cycle 3, le travail individuel systématique se réduit à un langage intérieur : le travail par deux, le passage à l'explicite, participent à l'élaboration de la pensée.
• le besoin d'aide : passer de relances stériles ("tu ne sais pas... cherche... cherche dans ta tête...") à des mises en œuvre de moyens ("dis, raconte, dessine, schématise..."). Apprendre à "brouillonner". Différencier, pour une même tâche, c'est adapter l'étayage, permettre, faciliter les stratégies différentes : il faut s'interroger sur les élèves qui ne s'autorisent pas à utiliser des procédures de bas niveau d'abstraction (sommes réitérées, dessin, ...) pour résoudre quelques problèmes simples des évaluations nationales.

Vrais et faux problèmes

• L'énoncé ne fait pas le problème. Celui-ci ne se réduit pas à un énoncé écrit/question : il y a problème quand des difficultés doivent être surmontées.
• Le problème ne se réduit pas à un écrit (très important, y compris au cycle 3).
• Le problème complexe suppose des étapes que l'élève doit inventer (pas de questions intermédiaires).
• C'est par le problème qu'on évalue les savoirs mathématiques.

L'oral

L'oral est la base de l'argumentation : l'élève peut appréhender le contexte, les informations données, la question posée. Pour penser comment les problèmes évoluent, les solutions, les formulations, l'élève a besoin de se parler ; le travail en petit groupe permet d'extérioriser le langage intérieur. La langue spécifique des maths peut être obstacle, barrage (ex. droit/penché, courbe, diagonale...)

L'écrit

Il y a trois types d'écrits :

• Le brouillon (recherche, dimension personnelle).
• La mise au point pour communiquer. Le passage est progressif à une forme de communication qui ne doit pas être figée mais adaptée au questionnement : ce n'est pas une description de la recherche mais une présentation des conclusions (ce qui est nécessaire à la compréhension, peut être commenté à l'oral... ça ne raconte pas comment l'élève a trouvé...).
• Les écrits de référence, "les choses dites telles qu'elles se disent en math ", écrits auxquels l'élève a accès.

La mise en commun

Elle privilégie l'oral : travail sur les productions des élèves (procédures personnelles), la diversité des moyens, des niveaux de représentations... Cette nécessité n'implique pas de renoncer aux objectifs du cycle, au contraire, les procédures expertes font partie de cette présentation.

La correction

C'est la validation par le maître ou un élève expert, LA réponse.

Calcul Mental/réfléchi

C'est une activité décisive dans la vie sociale et pour accéder aux apprentissages ultérieurs. Le calcul d'usage (exact ou approché) est nécessaire à la compréhension de tous les concepts numériques, c'est l'occasion d'une réelle activité mathématique. Trois moyens de calcul : mental, instrumenté, calcul posé.

Opérations

Elles ont peu d'avenir. Justification de leur maintien à l'école : permettre à chacun de vérifier le travail de la machine, moyen de travailler la numération, ... L'objet n'est pas de former des "virtuoses des opérations !".

On apprend les techniques trop tôt.

Calcul mental

Il est décisif : ressource sociale, indispensable à la plupart des concepts de l'école et du collège (on ne peut y progresser si certains mécanismes ne sont pas disponibles).

Le calcul mental devrait être "pavlovien" dès la fin du CM (tables + et x ; y compris multiples de 15, 25 et fractions usuelles).

La mémorisation doit être "mobile" et suppose des approches sous différentes formes (compter de x en x ; les multiples de ... ; 7x8=56 ; dans 56 il y a 7x8 ; dans 60 il y a 7x8 et 4 ; c'est dans cet esprit que les tables de 2 et 5 sont enseignées au CE1).

Calcul réfléchi (ou raisonné)

Il est cohérent avec la priorité de la résolution de problèmes ; l'élève a l'initiative des procédures, il y a créativité, raisonnement (il se poursuit au collège).

Recommandations :

• Pratique quotidienne, utilisation systématique, il doit précéder l'écrit, c'est un moyen de calcul qui a ses méthodes spécifiques (la gestion mentale des calculs n'est pas une reproduction du calcul écrit).
• Importance de l'oral : on calcule sur les mots ("lecture" de gauche à droite pour le traitement des "grosses choses", de droite à gauche à l'écrit dans les opérations).
• Il précède le calcul posé : si les techniques sont mises en place précocement, ça "tue" le sens ; l'élève a le sentiment qu'il peut faire l'économie de comprendre... Il faut différer la technique. - diversité des procédures : aucune méthode à privilégier (les performances inter-individuelles ne sont ni plus rapides, ni plus fiables). Les procédures individuelles sont à expliciter, de l'oral à l'écrit (différé mais nécessaire).
• Instaurer l'idée de calcul facile (plus long, mais plus facile : 52/4 c'est 40/4 et 12/4), de "nombres sympathiques".

Le calcul mental est une activité quotidienne qui a deux formes : - entraînement au calcul mémorisé, - séance de calcul réfléchi (plus longue du fait des mises en commun).

Bibliographie

• Programme 2002 : Documents d'application : mathématiques au cycle 2, mathématiques au cycle 3
• http://www.eduscol.education.fr : articulation école/collège, le calcul mental ( cycle 2 et 3), utiliser les calculatrices en classe, la résolution des problèmes, le calcul posé (en préparation pour l'école maternelle : "Préparez au mathématiques")

Prise de notes : M. Rackelboom, J.-J. Calmelet

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